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Las ciencias matemáticas, la deuda

por Malambo en Bloxito.Ciencia | 2006-04-05 | 20 Comentarios


Esto empezó en la entrada anterior.


La ciencia es una actividad humana que utiliza el método científico para hallar leyes, e.d. estructuras que vinculen las propiedades de los objetos. Si los objetos son conceptuales (proposición, punto, número, variedad diferencial) sus propiedades serán conceptuales y las leyes serán leyes matemáticas. Y aunque la palabra 'ley' no es del agrado de muchos matemáticos que conocí, el concepto que representa (relación entre propiedades de objetos) es cotidianamente usado por ellos.

Si los objetos son cosas, entonces sus propiedades formarán parte de la realidad y serán representadas por conceptos con referencia factual vinculados en leyes "factuales", cuyo estudio está a cargo de las ciencias factuales (física, química, biología, psicología, sociología). En la vida cotidiana estamos más cerca de las verdades de facto que de las verdades lógicas, por supuesto.

Un método es un procedimiento para resolver problemas. El método científico es un procedimiento para resolver problemas científicos.

Para cada tipo de problemas existirá, por tanto, un método diferente. Así, un biólogo no empleará las mismas técnicas que un físico para la resolución de sus problemas, ni este las mismas que un historiador. Pero los problemas científicos, incluidos los matemáticos, son problemas de conocimiento y existe para todas las ciencias una forma de proceder general (un método general) para resolverlos que todos más o menos conocemos:

  1. Enunciar problemas bien formulados y con solución posible. (El planteo de problemas es una parte fundamental para la ciencia, sin embargo muchas veces no es tenido en cuenta por los positivistas, que ven la ciencia como una herramienta para acumular datos obtenidos de la medición en fórmulas que los sinteticen). El matemático, en su labor diaria, se plantea problemas e intenta resolverlos.

  2. Conjeturar hipótesis fundadas. El matemático, cuando tiene que resolver un problema original, plantea hipótesis originales.

  3. Someter las conjeturas a contrastación. Con herramientas lógicas el matemático establece si el sistema que ha planteado es lógicamente coherente o no (coherencia lógica = verdad lógica).

  4. Derivar consecuencias lógicas a partir de las hipótesis. Esto lo hace el matemático mejor que ningun otro bicho sobre la tierra.

  5. Controlar las técnicas de contrastación. Los estudios de los fundamentos de las matemáticas existen y la filosofía de las matemáticas también.

  6. Explicar el problema a partir de las conjeturas. El matemático hace esto cuando demuestra un teorema.

  7. Determinar el universo. El matemático establece cual es la generalidad y hasta que punto es válido lo que acaba de demostrar.

  8. Generar nuevos problemas. Lo que una vez fue un problema ahora es una herramienta para resolver nuevos problemas. Aquí se cierra el ciclo.

Existen enormes diferencias entre las matemáticas y las ciencias factuales, puesto que sus universos de discurso son enteramente diferentes, pero el método global empleado tanto por los matemáticos como por el resto de los científicos es el mismo. ¿Que derecho hay de aislarlos?


Bloxito.Ciencia | Las ciencias matemáticas, la deuda (2006-04-05 00:32) | 20 Comentarios

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Comentarios

1
De: Remo Fecha: 2006-04-20 05:37

hmmm... Dices en la 3 que el matemático tiene que "Someter las conjeturas a contrastación. Con herramientas lógicas el matemático establece si el sistema que ha planteado es lógicamente coherente o no (coherencia lógica = verdad lógica)." Creo que en matemáticas esto no es suficiente. El matemático ha de demostrar la hipótesis, no someterla a contrastación. Si en física una hipótesis predice cosas verificables, gana estatus. En matemáticas no lo gana hasta que la demuestras. Si algo es cierto en matemáticas para mil casos observados, sigue teniendo la misma validez que si lo es para dos mil. Hasta que no se demuestra no pasa a tener validez de verdad. En física, por la propia imposibilidad de la demostración, no puede hacerse esto. El físico induce, el matemático deduce. Dos universos necesarios e igualmente importantes, pero diferentes.



2
De: malambo Fecha: 2006-04-20 13:42

Al cambiar la noción de verdad fáctica (correspondencia de las sentencias con la realidad) por la de verdad formal (satisfacción de modelo o coherencia lógica) cambia el sentido también de la palabra contrastación.

Admito, pero sólo un poco ;) que puede tratarse de un caso de mareao de la perdiz. Por supuesto que no existirán en matemáticas procedimientos experimentales con los que poner en correspondencia las proposiciones o los teoremas con la realidad y no creo que la actual moda de verificar teoremas por ordenador sea una "prueba" en el sentido de las ciencias fácticas; sin embargo, los matemáticos siempre formulan conjeturas de las que no saben su valor de verdad. Una conocida es el Teorema de Fermat, demostrado por Wiles hace una década pero que permaneció "stand by" desde Fermat hasta ahora; las conjeturas incluidos en los "siete problemas del milenio" o la Conjetura de Goldbach.

Son todos ejemplos de formulaciones en las que los matemáticos deben contrastar sus dichos con la estructura lógica subyacente (eso si quieren ganarse 1 millón de dólares).

Coincido plenamente contigo en que verdades formales y verdades fácticas tienen distintas características y que la física y la matemática son por entero diferentes. En una las cosas se supone que existen y en la otra debemos fingir que existen, pero prefiero definir la ciencia como una actividad humana y no veo que las actividades de un matemático y un físico teórico, por ejemplo, sean tan diferentes.



3
De: JuanPablo Fecha: 2006-04-20 20:57

qué visión tan acotada -menos que ingenieril- de las matemáticas!

espero que no se difundan mucho estas ideas, o nos quedamos sin la verdadera investigación en matemática.



4
De: malambo Fecha: 2006-04-20 23:26

Así es, Juan Pablo. Estaba pensando prohibir la lectura de este blog.



5
De: Esteban Fecha: 2006-08-05 14:52

Hola,

Muy interesante el artículo. A veces la matematica se suele clasificar junto a otras ciencias como la física o la biologia. Pero al parecer, el método cienífico (o algo mas) las disitingue. Me pregunto si la matemática es siquiera una ciencia.

En fin, me interesa mucho esto. EN nuestro blog estamos viendo este tema ahora. (elfibio.blogspot.com). Te invito a comentar, o si tienes tiempo, a colaborar en él.

Un gran saludo



6
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-08 03:38

ja! "Estaba pensando prohibir la lectura de este blog."

Típica postura escéptica, no vayamos a preguntarnos por qué alguien dice otra cosa distinta, se prohibe y a otra cosa, sin discutir ni nada, a ver si descubrimos que estábamos equivocados en algo!



7
De: malambo Fecha: 2006-08-08 03:59

hummm... ¿Tienes el modo irónico en off Juan Pablo? Y la verdad sí, me pregunté por qué alguien que no propone nada califica a una postura más o menos detallada de "visión acotada". También pensé en por qué alguien esperaría que no se difundan las ideas de otros simplemente porque no coinciden con las propias y la verdad no encontré respuestas.

Es posible, diría más, es casi seguro que estoy equivocado; pero ahí tienes mis ideas, listas para ser criticadas de forma puntual y no con simple pirotecnia verbal quejosa. Seguro que tu tienes las tuyas, pero no has querido expresarte ¿verdad?



8
De: Esteban Fecha: 2006-08-08 13:15

Malambo,

Gracias por tu post. Con respecto a lo que dijo Stephanie prefiero no decir nada, ya que son sus opiniones.
Concuerdo contigo cuando defines en qué consiste hacer una clsificación de las ciencias.
Dices que la matemática no podría ser la ciencia de las ciencias, pero no dices por qué. Yo tengo algunas razones, aunque esto no quiere decir que crea ciegamente que la matemática no podrá ser la ciencia más importante:

-La matemática no es una ciencia natural. Si bien es cierto que está basada en la experiencia (nuestra percepción espacial, p.ej., en cuanto a la geometría), no se basa en EXPERIENCIAS en el sentido empírico.

-Esto quiere decir que no contrasta hechos experimentalmente.

-No es una ciencia predictiva, aunque es el método para que otras ciencias lo hagan.

Un gran saludo



9
De: malambo Fecha: 2006-08-08 16:44

Hola Esteban, gracias por volver.

Mi respuesta sigue en El Fibio.



10
De: Esteban Fecha: 2006-08-08 21:54

Hola Malambo,

Muchas gracias por tu post, son muy interesantes tus acotaciones.

Está bien que aclares por qué simplemente negaste que la matemática no puede ser la ciencia de las ciencias (“CDC” desde ahora). En una argumentación, como dices, no se trata de demostrar “por qué no”, es decir, no se demuestran las proposiciones negativas. De otro modo alguien podría desafiar tramposamente: “Ey, demuéstrame que no existen los unicornios!”. Y para eso no hay respuesta. Por lo mismo, es mejor demostrar afirmativamente. Así si yo digo “la matemática es la CDC, porque X”, entonces tú puedes llegar y decir “no, X no es cierto, porque Y. Por ende la matemática no es la CDC”. Ésa es una manera demostrar proposiciones negativas, basándose en otra demostración afirmativa.

Pero entiendo que tú criticas la parte lingüística del problema más que otra cosa. Verás, cuando digo “la ciencia de las ciencias” no me refiero a “la ciencia que tiene como objeto las demás ciencias”. Ésa es sólo una denotación de la prep. “de”. Como podrás ver aquí, esta palabrita tiene muchos más significados. La ascepción a la que te refieres es la que denota materia de estudio. Bueno, te aviso que ésta no es.
Uno puede decir p.ej. “el tonto de los tontos” y aquí no tiene esa denotación, sino que quiere decir “el más tonto entre los tontos”, donde “de” tiene una denotación partitiva. En fin, cuando hablo de la CDC, hablamos de a cuál ciencia dentro de la clasificación le corresponde el título de la disciplina más científica, ya sea por su objeto de estudio, por su método, por la amplitud de sus verdades o su poder predictivo. Desde ahora hablamos de eso.

Bueno, me salto lo que dices de mis otras afirmaciones, porque estamos de acuerdo.

Pero no se por qué niegas que la matemática sea un método que sirve para la predicción en las ciencias. Yo no dije que fuera ése el único método. En fin, debes estar de acuerdo en que sí es uno de los métodos. Aunque me arriesgo a afirmar que toda predicción hace uso de las matemáticas y que la predicción no es un bicho más complejo que la deducción, ya que parten desde una hipótesis. Tú dices “La predicción es un bicho mucho más complejo que la "simple" deducción lógica.” Me gustaría que me dieras un ejemplo de predicción que no haga uso de la lógica.

Espero que podamos retomar el diálogo ahora que entiendes a qué me refiero con CDC, aunque creo que siempre lo entendiste bien. No sé por qué te diste tantas vueltas.

Un gran saludo



11
De: malambo Fecha: 2006-08-09 23:02

Saludos Esteban.

Según veo, porque ahora se te entiende, lo que tu quieres hacer es establecer una relación ordinal dentro del conjunto de las ciencias. No estoy seguro que, de poder hacerse, tenga algún valor.

Me explico. Una ciencia es semejante a otra porque comparten el mismo método general. Sin embargo, al mismo tiempo, cada una de ellas tiene un método particular.

No lo veo claro ahora, pero si eventualmente el ordenamiento diera que la física, por poner una, fuera la más ciencia de todas las ciencias, ¿qué querría esto decir? ¿que la química o la biología deberían renunciar a sus métodos particulares y copiar los de la física para ser más científicas? Si así fuera, pues no me parece correcto.

Esto no quiere decir que no existan criterios que discriminen disciplinas científicas de las que no lo son. Pero esto es harina de otro costal, porque aquí estamos hablando de establecer una relación de orden entre aquellas que sí son ciencias.

En cuanto a por qué niego que la matemática (como ciencia) sea un método surge de la definición y caracterización de método que hice en este mismo post. Son objetos conceptuales diferentes.

Tú dices “La predicción es un bicho mucho más complejo que la "simple" deducción lógica.” Me gustaría que me dieras un ejemplo de predicción que no haga uso de la lógica.



:) Lógica elemental: Las condiciones necesarias no son condiciones suficientes.

Que use la lógica no quiere decir que sea sólo eso. Una predicción (e.d. teoría científica aplicada a un modelo específico) no es sólo lógica, aunque la contenga.

Un abrazo.



12
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-10 22:36

disculpá, este mes no tuve mucho tiempo -ni para postear yo, casi- y no estaba seguro de que realmente te interesara discutirlo (tu respuesta sobre prohibir las cosas cerraba por completo esa posibilidad, ¿no?)

Pero si estás dispuesto a discutirlo, abajo va un comentario sobre la primera frase.


La "buena formulación del problema" puede llevar siglos (1), y es imposible saber a priori si hay solución 'posible' (2).

El significado de 'posible' es difícil de determinar en tu frase (está lleno de teoremas de existencia de soluciones, por ejemplo en ecuaciones diferenciales, sin embargo es imposible hallar estas soluciones a partir de las demostraciones... peor: en general es imposible hallarlas).

El gran ejemplo de (1) ha de ser el problema de la cuadratura (y no sólo del círculo, que sirve para (2), sino en el sentido amplio de medir áreas; para hacernos una idea de lo que quiero decir, pensemos que cuadrar figuras con bordes curvos generó el cálculo integral, éste necesitó una teoría de la medida para fundamentarlo... y ésta engendró un teorema como el de Banach Tarski, según el cual uno puede desarmar el sol en partes -como mínimo, cinco- y rearmarlo pero ahora dentro de una botella de un litro -o a la inversa, dividir en partes una naranja y con estas partes armar una esfera del tamaño del sol).

Para (2), sobran los ejemplos: desde los viejos problemas griegos de la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo, y la duplicación del cubo; a los más modernos como la hipótesis del continuo, la conjetura de Poincaré, o el teorema de Fermat (de los resueltos) o los otros cinco problemas del Clay (que todavía hoy no se sabe si tienen solución o no).



13
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-10 23:06

Por otra parte, lo de visión ingenieril te puede haber sonado peyorativo -no era mi intención-, pero esas condiciones que imponés a los problemas que el matemático debería estudiar son precisamente las que se piden en problemas aplicados -si escuchaste hablar de "well posed" sabrás a qué me refiero-, pero hace siglos que las matemáticas estudian también problemas "ill posed".

Paradójicamente, el estudio -matemático- de problemas ill posed avanzó tanto que hoy se aplican en problemas prácticos, pese a que las demostraciones rigurosas muestran que no se pueden calcular las soluciones, o no las hay!

Ejemplos: distribuciones iniciales de temperaturas; reconocer un objeto -o la forma de un objeto- a partir de señales que refleja, o absorbe, o refracta; etc.



14
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-10 23:20

Paso al punto 2:


"Conjeturar hipótesis fundadas" no tiene el menor sentido, pero destaquemos que se trata de un gran oxímoron.

Se conjeturan teoremas; bajo qué hipótesis mínimas son ciertos estos teoremas es un problema diferente, ya que aún demostrado un teorema bajo ciertas hipótesis, podarlas puede ser un proceso largo, y es difícil saber cuándo está terminado.

Por otra parte, las hipótesis no están 'fundadas' (ni fundamentadas), todo lo contrario: son supuestos arbitrarios sobre los cuales se construye una demostración.

[La segunda frase, la parte de la originalidad no tiene contenido (ni está fundamentada por nada), parece una variante más del 'afirmaciones extraordinarias requieren demostraciones extraordinarias' -frase bastante anticientífica, por otra parte: todas las afirmaciones científicas tienen el mismo estatus, y su demostraciones (en matemáticas) o contrastaciones (en la realidad) deben juzgarse con la misma imparcialidad.



15
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-10 23:27

La visión ingenieril en este caso está muy clara: tu punto 2 es una versión seria del chiste del "sea j un abrelatas" o de la historia del caballo esférico.

El tema de las hipótesis "razonables" es propio de las aplicaciones, porque hay un contexto que impide pedir ciertas condiciones. Ese contexto nos dice qué tan razonable -o fundada- es una hipótesis, no el análisis matemático teórico.

Ejemplo: una hipótesis 'fundada' en un problema concreto es que las soluciones de una ecuación diferencial difieran poco para datos iniciales parecidos (porque de por sí las mediciones no nos darán un valor exacto, sólo aproximado). En matemáticas, por ejemplo, toda la teoría del caos estudia el otro caso: no hay dependencia continua de las soluciones respecto a los datos iniciales.



16
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-10 23:40

El punto 3:


En el sentido clásico de contrastación, una conjetura se demuestra o no; por más que
se la contraste o se la verifique en miles de millones de casos, no se avanza ni un centímetro en cuanto a su validez (ejemplos sobran: los primeros millones de ceros de
la zeta de Riemann, millones de números pares que cumplen Goldbach).

La segunda parte, tan 'lógica', es falsa. Coherencia no es igual a verdad. Tampoco es cierto que la noción de verdad sea igual a la noción de demostración. Es más, ni siquiera es cierto que se pueda establecer que un sistema es lógicamente coherente. Y ni hablar de qué lógica utilizar para intentar demostrar la coherencia.

La lista de ejemplos es larga: la vieja discusión Poincaré-Hilbert sobre los métodos finitistas -donde Hilbert comprendió que estaba equivocado 20 años después de la muerte de su oponente, el teorema de Godel (o mejor, la versión de Turing, porque introduce la noción de verdad), las diferentes lógicas (en especial las constructivistas), etc.

Por supuesto, estoy entendiendo 'coherencia' como 'consistencia', que es el término más técnico. Si se le está dando otro sentido, convendría aclararlo. Si fuera 'coherencia' con el mundo real que nos rodea, las geometrías no euclideanas presentan un desafío bastante grande; si es 'coherencia' con todo lo que ya está demostrado... es Godel otra vez; escucho opciones.



17
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-10 23:59

[en realidad, remo planteaba una objeción similar, y por tu respuesta deduzco que identificás "verdad" con "demostración formal"; es decir, algo no puede ser verdad hasta que no se lo demuestra formalmente. Justamente, el teorema de Godel permite construir una proposición verdadera pero no demostrable -de ahí el nombre de teorema de incompletitud.]

De paso:

1- mencionás ahí las demostraciones por computadora, y hay dos clases distintas que son demostraciones en regla. ¿Por qué decís que no son demostraciones?

2- decís: "los matemáticos siempre formulan conjeturas de las que no saben su valor de verdad". ¡Al contrario! Saben bien su valor de verdad, lo que no saben es como demostrarlo. La gran mayoría de las conjeturas se demuestran tal como el que las enunció decía que eran, y cuando alguna conjetura es refutada, se suele decir que el que la formuló 'se equivocó'.



18
De: Anónimo Fecha: 2006-08-16 05:52

creo que les gace falta mucho por quer nos quedamos igual con la duda



19
De: JuanPablo Fecha: 2006-08-26 21:08

Por lo visto, no te interesaba discutir ideas. Te hubieras ahorrado el insulto de

Y la verdad sí, me pregunté por qué alguien que no propone nada califica a una postura más o menos detallada de "visión acotada".


Por suerte me ahorré el tiempo de tipear los otros puntos.



20
De: malambo Fecha: 2006-09-13 16:43

Hay, según veo, dos partes en este problema. Una contiene los métodos particulares de cada ciencia; estos métodos las hacen diferentes, tanto que es incorrecto pensar que la física sea matemática aplicada, o que la química sea una aplicación de la física al problema de las moléculas.

La otra parte del problema reside en los métodos generales. Y ahí sí las diferencias se hacen más sutiles. Pero incluso dentro de estos métodos generales, destaqué en este post (véase) sólo un manojo, aquellos que me parecieron acordes con el argumento de que las matemáticas son otras de las ciencias. (Las dificultades y peticiones también están reconocidas).

Según puedo interpretar de la lectura que hago de los sesudos fundamentos de JuanPablo, él pensó que con esos pocos criterios yo pretendía definir las matemáticas. ¡Nada más alejado de la realidad!

Según mi visión, este desacuerdo global invalida cualquier discusión puntual.



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