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El teorema de Noether

por Malambo en Bloxito.Ciencia | 2005-12-20 | 26 Comentarios


El de Noether es a mi juicio uno de los teoremas más bellos y profundos que ha dado la ciencia. El teorema de Noether tiene que ver con las simetrías de las leyes físicas, tiene que ver con la estética teórica refrendada por la naturaleza, pero sobre todo es un hermoso secreto arrancado al universo. Y ya lo sabemos, los humanos siempre hemos sentido un gozo especial por los objetos simétricos, sean materiales o de pensamiento y también por los secretos.

La naturaleza desborda en simetrías y es lógico, algunas confieren ventajas evolutivas y por lo tanto resulta entendible que sea una característica conservada en todos los seres vivos. Un tigre, por ejemplo, tiene dos ejes de simetría, uno en la dirección de la velocidad que le provee el alimento y el otro en dirección de la gravedad que lo sujeta. Ambos ejes definen su plano de simetría.

Se combinan en las simetrías del tigre lo intrínseco y lo externo, la propia conservación y el vínculo con el planeta. ¿Pero qué ocurre con aquellos seres vivos que por siempre permanecerán fijos en un lugar? Un árbol magnífico y solitario como el roble no posee una simetría conjugada con el movimiento, pero se mantiene en pie según el ineludible eje de la fuerza gravitatoria. Todas las direcciones horizontales son para él idénticas en su objetivo de encontrar luz, oxígeno y sales disueltas, por lo que una rotación arbitraria alrededor de su eje preferencial lo dejará imperturbable, indiferente al cambio.

Algunas flores, pero por otras razones, no tienen la suerte del roble. Es posible obtener la misma azalea luego de girarla por su tallo, pero el giro debe hacerse con esmero porque no cualquier ángulo nos devolverá la flor que teníamos al principio. Podemos decir que el roble tiene una simetría continua puesto que es posible girarlo tan poquito como queramos y aproximadamente seguirá manteniendo su aspecto, en cambio la simetría de la azalea es discreta, ya que sólo cada ciertos ángulos de giro volverá a presentarse similar a como estaba al principio.

La simetría es una cuestión de grado. Sólo se puede recuperar el rectángulo original si se lo gira 180º y el cuadrado 90º. Al círculo puede girárselo un ángulo arbitrariamente pequeño que igual conservará su forma.


En términos subjetivos, un objeto tiene una simetría o es simétrico si luego de operar sobre él luce igual que antes de la manipulación. A la operación sobre el objeto se la suele llamar transformación de simetría. Por ejemplo, la reflexión del espejo, el traslado del objeto una distancia cualquiera o, incluso, la rotación alrededor de un eje, suelen considerarse transformaciones de simetría básicas y como no cambian las distancias dentro del cuerpo se las llama isometrías.

En concreto, una transformación de simetría de un objeto es una isometría que lleva al objeto sobre sí mismo. Del objeto que admite una simetría se dice que es invariante respecto de dicha simetría y a ella una invariancia. El conjunto de todas las transformaciones de simetría de un objeto es su grupo de simetría, cuya operación interna es la aplicación consecutiva de transformaciones.

Pero el cosmos está tan repleto de simetrías que no sólo las manifiesta de forma visible, sino que también lo hace de manera sutil, impalpable. Sólo la inteligencia es capaz de penetrar en las profundidades secretas de la naturaleza y hallar la belleza oculta de sus leyes.

Debió aparecer el hombre sobre la faz de la Tierra para que esas leyes tuvieran una representación simbólica, incompleta y mejorable, pero magnífica. Y fue a través de ella que logramos la capacidad de descubrir que el mundo era más soberbio de lo que jamás habíamos visto o imaginado. Más allá de la percepción y las imágenes, la naturaleza presenta espléndidas simetrías ocultas en la abstracción, y el teorema de Noether las rescata y las pone en contacto con sus circunstancias palpables.

El enunciado del teorema es simple y corto, tanto que podría pasar desapercibido en una lectura rápida. Dice que a cada simetría continua en la ecuación que representa una ley física le corresponde una cantidad inalterable del mundo y viceversa. O, de forma más amplia, que un grupo con n simetrías implica la existencia de n cantidades conservadas, es decir, las simetrías continuas implican las leyes de conservación.

Como ilustración del teorema veamos que pasa con la ley más simple de movimiento de los cuerpos:


Como el tigre, el roble y la azalea, esta ecuación tiene sus propias transformaciones de simetría, es decir, se le pueden aplicar transformaciones de manera que luego de aplicárselas tenga la misma forma que al principio. Estas transformaciones forman un grupo de simetría que se conoce con el nombre de grupo de Galileo y está compuesto de siete transformaciones:

Traslación en el tiempot = t + t01 simetría
Traslación en el espacio3 simetrías, una para cada dirección en el espacio
Isotropía del espacio3 simetrías, una para cada ángulo elemental de giro


Al resolver la ecuación que representa la ley de movimiento nos encontraremos con una relación entre variables que representan al tiempo y a las coordenadas del cuerpo móvil. Si cambiamos esas variables por las nuevas (las que llevan el pequeño tilde) mediante la aplicación de cualquiera de las traslaciones, por la rotación o una sucesión arbitraria de ellas, veremos que la ley de movimiento final tiene la misma forma que la ecuación original. Hemos conseguido una simetría.

Y aquí habla Noether: Existirán, incluso en este caso elemental, cantidades que se conservan.

SimetríaInvariancia de la ecuaciónCantidad conservada
Homogeneidad del tiempoInvariancia de traslación temporalConservación de la energía
Homogeneidad del espacioInvariancia de traslaciónConservación de la cantidad de movimiento
Isotropía del espacioInvariancia rotacionalConservación del momento angular


Y así se ponen en contacto la conocida ley de conservación de la energía con la ignota homogeneidad del tiempo y yo me quedo en silencio, perplejo de asombro.


Bloxito.Ciencia | El teorema de Noether (2005-12-20 21:01) | 26 Comentarios

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Comentarios

1
De: vengoroso Fecha: 2005-12-21 17:01

Que explicación más poética :-D



2
De: malambo Fecha: 2005-12-21 17:18

:·)



3
De: Chamberi Fecha: 2006-02-02 22:23

Fuera de lo simétrico, también existe lo asimétrico, y es permitido por la naturaleza. O también los rompimientos de simetría. Tenemos tanto en la naturaleza, la simetría y la asimetría - ambas igualmente de útiles-, asi como en la vida tenemos buenos y malos momentos.



4
De: Amalio Fecha: 2006-02-03 09:56

Si ahora la fómula de la gravedad es de una forma y dentro de un tiempo es de otra, podría aprovechar para levantar un peso en el momento de gravedad débil y soltarlo en el de gravedad fuerte con lo cual obtendría energía por el morro.

Esa es una razón, explicada de otra manera, de que la simetría en el tiempo tenga que equivaler a la conservación de la energía.



5
De: Amalio Fecha: 2006-02-03 09:59

NOTA: Las leyes físicas han de mantenerse en el tiempo (esto es lo que quiere decir simetría con respecto al tiempo).



6
De: malambo Fecha: 2006-02-04 00:58

Me parece, Amalio, que el ejemplo que pones no es del todo acertado. La Tierra, por ejemplo, se mueve en un campo gravitatorio que, por supuesto, no es constante. En cada punto local del planeta la gravedad varía con el tiempo así que el experimento que señalas podría hacerse.

Simetría de una ley respecto del tiempo quiere decir que las fórmulas que las expresan no cambian ante un cambio de t por -t.



7
De: JuanPablo Fecha: 2006-02-15 21:15

muy lindo post, y como decís, la simetría está en poder cambiar t por -t. Y agregaría a Chamberti que cuando se rompe la simetría, suele haber formas simétricas en que puede romperse (prefirió una dirección, pero pudo preferir las otras), con lo cual aparecen los diagramitas de bifurcaciones, etc.

pd: ¿no será eso lo que te atrae de la invariancia de escala? :-)



8
De: malambo Fecha: 2006-02-15 22:14

¿Y no te parece un tema apasionante?



9
De: JuanPablo Fecha: 2006-02-16 16:24

tanto, que laburo en eso.



10
De: Nfer Fecha: 2006-02-19 20:05

Leo y releo y sigo sin entender.
Tal vez porque veo los ejemplos de otra manera,malambo.
Hablas del tigre y la flor de la azalea, eso lo entiendo.
El árbol no: porque veo el árbol como un fractal, una suma de partes.
Me resulta imposible imaginarme un fractal de azaleas, o de tigres. O descomponer un tigre o una azalea...
¿entiendes porqué no puedo pasar de ahí?

Y, como me resulta apasionante el tema, te lo comento, tal vez quieras decirme dónde está mi error y puedo seguir adelante...
¡Abrazos1
Nfer



11
De: malambo Fecha: 2006-02-19 22:55

Nfer la foto del árbol es un poco engañosa, debería mostrar una imagen desde arriba y no de perfil.

El eje de simetría es el tronco del árbol: lo puedes hacer girar según él el ángulo que quieras y seguirás teniendo más o menos el mismo árbol, no cambiará mucho su aspecto.

No se trata de fractales ni descomposiciones o cosas similares, me refería a sus formas como un todo, a simples simetrías de rotación. El árbol puede simplificarse en la representación de un círculo y una azalea en un pentágono.


Lo que me resulta sorprendente es que, de alguna manera, la supervivencia tenga que ver con esa simetría. Observa que si a una planta no le entregas luz y nutrientes de forma homogénea, entonces perderá dicha simetría.



12
De: Nfer Fecha: 2006-02-20 23:11

Creo entender lo que te sorprende, malambo.
Lo que me tengo que pensar es si hablamos al mismo nivel jerárquico de la natur...
No, ja! no hablamos porque no mantenemos la "invariancia de escala"
...(mal chiste)
Dejame que ajuste el vocabulario que estamos usando.
O digamos, la planta NO encuentra en su camino nutrientes en forma homogénea, y por supuesto, menos que menos, luz.
Voy a revisar el clásico libro de J. Harper y vuelvo.
Un abrazo,
Nfer



13
De: Amalio Fecha: 2006-02-20 23:26

"Simetría de una ley respecto del tiempo quiere decir que las fórmulas que las expresan no cambian ante un cambio de t por -t"

Siento decirte que esta simetría de la que hablas es la de inversión temporal, que es otra cosa distinta.

Tú imaginate que estás en tu cuarto, por ejemplo, y que dejas caer una pelota al suelo desde 1 metro de altura y que justo después de que ha botado se debilita la gravedad. Entonces subiría hasta el techo y si en el momento siguiente vuelve la gravedada a su valor normal -cuando la pelota ya está en el techo-, pues ya hemos ganado altura y por lo tanto energía.


Luego la constancia de las leyes físicas a lo largo del tiempo(o simetría temporal), equivale a la conservación de la energía.
De verdad, Malambo, y se de lo que hablo.

Un saludo.



14
De: Amalio Fecha: 2006-02-20 23:37

Un ejemplo similar se podría buscar con las leyes del potencial electrico o magnético por ejemplo.

Si finalmente se demuestra que las leyes del Universo van cambiando a lo largo del tiempo, aunque sea muy lentamente, nos cargaríamos el principio de conservacion de la energía.


Traslación en el tiempo t = t + t0 1 simetría.

Fíjate Malambo lo que tu mismo has escrito, ya ves que aquí no hay ninguna inversión temporal, sino que equivale a lo que te acabo de vover a explicar.

Pero tranquilos que eso no va a ocurrir.



15
De: Nfer Fecha: 2006-02-20 23:46

A ver: estoy regando fuera de la maceta en este post.
sigo buscando lo referido a la simetría en vegetales, y ustedes andan por otros niveles.

En todo caso y sólo si te parece que cuadra en este tema, por mail te comento de las experiencias e hipótesis de la escuela inglesa de Ecofisiología (el libro que tengo ahora es de J.L. Harper, ya "descatalogado" como todo lo que en Argentina tiene más de 20 años: se llama "The Biology of Weeds" y es de Blackwell, año 1960.)



16
De: malambo Fecha: 2006-02-21 01:12

Razón llevas Amalio respecto de la simetría de translación, que es la generadora de la invariancia de la energía. Por alguna razón, que ahora escapa a mi recuerdo, identifiqué los términos "reflexión" por "simetría", pero evidentemente cometí un error; aunque una reflexión temporal sea una simetría en la ec. de movimiento de Galileo, ya que el cambio de t por -t conserva su forma (a menos de un signo).

O digamos, la planta NO encuentra en su camino nutrientes en forma homogénea...


Nfer



Claro, Nfer, sólo en forma aproximada y también en forma aproximada es que se cumplen las simetrías de las plantas y animales, como ya dije en el cuerpo del post. De todas maneras, sería interesante que comentases las experiencias de Harper aquí mismo, puesto que parece tratarse esta de una historia con más de dos comentaristas :)



17
De: JuanPablo Fecha: 2006-02-21 16:10

Amalio, la inversión temporal es la primera simetría respecto al tiempo que a uno se le ocurre considerar. Lo podés ver en la wikipedia o en la página del cern, la que te inspire más confianza.

Que una ley permanezca fija a lo largo del tiempo no es ninguna simetría (es una invariancia de traslación) pero las operaciones de simetría son rotación, inversión y reflexión.



18
De: malambo Fecha: 2006-02-21 17:51

Juan Pablo, según la definición de simetría que escribí en el post, que es una usual, ("isometría que lleva al objeto sobre sí mismo" o bien " todo lo que le puedes hacer al objeto si al final de la operación queda igual que antes"), la traslación es otra de las simetrías, justamente una de las componentes del Grupo de Galileo y es ella, por supuesto, la responsable de la integral de movimiento correspondiente a la energía.



19
De: JuanPablo Fecha: 2006-02-21 22:38

bloxito, podemos discutir inutilmente pero sólo por una cuestión de lenguaje: si escribís el teorema como lo que es (invariancia ante la acción de un grupo), entonces recuperás la conservación de energía vía el grupo de traslaciones en algunos casos, pero no siempre.

Si te vas a restringir al grupo de Galileo, ok, tenés razón, ahí vale. Pero en general, te recomiendo esta página, la sección III.



20
De: malambo Fecha: 2006-02-21 23:51

Justamente, Juan Pablo, el grupo de Galileo es el que tuve en mente en este post (porque ese es el que aparece como ejemplo). Las teorías Gauge son un tema en sí mismo y merecen ser tratadas por separado en su propio post, uno que incluya las ampliaciones conceptuales al actual.

De acuerdo contigo en que podríamos discutir inútilmente, pero no creo que este sea el caso puesto que me interesa mucho tu opinión.



21
De: Amalio Fecha: 2006-02-22 00:09

De lo que yo hablaba es de la simetría de translacion en el tiempo, o dicho de otra forma de la invarianza de las leyes físicas respecto a la translación temporal. Esta invarianza es la que equivale al principio de conservación de la energía, y me digais lo que me digais no rebatiré más porque sé que estoy en lo cierto. ;-)



22
De: malambo Fecha: 2006-02-22 00:55

An nescis, mi fili, quantilla sapientia mundus regatur?



23
De: Amalio Fecha: 2006-02-22 09:15

Ite misa est.



24
De: melissa Fecha: 2006-09-03 21:25

que es esto



25
De: Exitium Fecha: 2008-01-19 22:59

Genial la explicación del teorema.
Con respecto a la simetria en los vegetales, no creo que Noether sepa algo, pero seguro que Pisano y Fibonacci si. Es mas, la proporción aurea es invariante ante una traslación temporal ( de ultima hacer el cociente de nuestra altura con la altura de nuestro ombligo en diferentes momentos de nuestra vida y ver que nunca cambia) y tambien ante una transformación de escala. Me gustaria saber que tipo de grupo forma y cual son sus generadores.



26
De: ... Fecha: 2011-12-15 19:42

La simetría debe ser en el funcional de acción, no en las ecuaciones de movimiento.

Este blog es re viejo, pero por si alguien lo lee...



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